Angel of city

천체 물리학 공부하다가 유즈루가 생각나서 발췌

天体物理学を勉強してたら、ゆづるのこと思い出して抜き出してみた。

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첫번째 법칙은 행성들은 원 궤도가 아닌 타원 궤도를 돈다는 것이다. 타원은 무엇인가? 수학적으로 원은 하나의 중심을 가지지만 타원은 두개의 중심을 가지는데 이것을 초점이라고 한다. 원에서는 모든 점들이 중심에서 같은 거리를 가지는 반해, 타원에서는 모든 점들에서 두 초점까지의 거리의 합이 일정하다. 사실 원은 두 초점이 같은 곳에 있는, 타원의 특수한 경우다. 길쭉한 타원은 초점이 멀리 떨어져 있다. 초점이 서로 가까워질수록 타원은 점점 원에 가까워진다. 

그리스인 들은 우주가 신성하다면 반드시 완벽해야 한다고 말했고, 그들은 완벽함에 대한 철학적인 의미를 가지고 있었다. 원은 완벽한 모양이다. 원 위에 모든 점은 중심에서 같은 거리에 있다. 이것이 완벽한 것이다. 신성한 우주에서의 모든 움직임은 완벽한 원이어야 한다. 별들은 원으로 움직인다고 그들은 생각했다. 이 철학은 수천 년을 살아남았다. 그런데 케플러가 등장하여 이렇게 말한다. ‘아뇨 여러분 원이 아니에요. 티코가 남겨준 자료로 이들이 타원으로 움직인다는 것을 보여줄 수 있어요.

 

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그는 더 나아가서 행성들이 궤도를 돌 때 태양에서의 거리에 따라 속도가 달라진다는 것도 알아냈다. 궤도가 완벽한 원이라면 원의 어느 한 지점에서 다른 곳과 속도가 달라야 할 아무런 이유가 없다. 행성은 일정한 속도로 움직여야 할 것이다. 하지만 타원에서는 그렇지 않다. 어디에서 행성의 속도가 가장 빠를까? 아마 추측할 수 있겠지만 행성이 태양에 가장 가까이 있을 때다. 케플러는 행성이 태양에 가까이 있을 때는 빠르게, 멀리 있을 때는 느리게 움직인다는 것을 발견했다.

이 문제를 기하학적으로 생각해보자. 케플러는 이렇게 말한다, “예를 들어 한 달 동안 행성이 얼마나 멀리 가는지 관측해보자.” 행성이 태양이 가까이 있어서 빨리 움직일 때 넓은 부채모양의 특정한 영역을 쓸고 지나간다. 이 면적을  A1이라고 하자. 똑같은 관측을 행성이 태양에서 멀리 있는 다른 곳에서 해보자. 케플러는 행성이 멀리 있을 때는 천천히 움직여서 같은 시간동안 같은 거리만큼 움직이지 않는다는 것을 발견했다. 행성은 같은 한 달 동안 짧은 거리를 움직여 가늘고 긴 부채모양의 면적 A2를 쓸고 지나간다. 케플러는 현명하게도 행성이 한 달 동안 쓸고 지나가는 면적은 태양과 행성 사이의 거리에 상관없이 같다는 사실을 알아차렸다. A1=A2인 것이다. 그는 두번째 법칙을 발견한 것이다. 행성은 같은 시간 동안 같은 면적을 쓸고 지나간다. 

이것은 각 운동량 보존법칙에서 얻을 수 있는 기본적인 결과다. 이 용어를 들어본 적이 없다 하더라도 직관적으로 이해할 수 있다.

스케이팅 선수들은 이것들을 이용한다. 피겨스케이팅 선수들은 팔을 벌리고 회전을 시작한다. 그런 다음 어떻게 할까? 팔을 모아서 팔과 회전축 사이의 거리를 작게 만들면 회전 속도가 빨라진다. 타원 궤도에서 행성이 태양에 가까이가면 태양까지의 거리가 작아지므로 속도가 빨라진다. 이것을 각운량 보존법칙이라고 한다. 당시 케플러는 이 용어를 사용하지 않았다. 하지만 어쨋든 그는 그것을 발견했다.

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케플러는 우선 모든 거리를 지구와 태양 사이의 거리 단위로 측정했다. 우리는 이것을 천문단위Astronomical Unit 혹은 AU라고 한다. 행성에서 태양 사이의 거리는 시간에 따라 달라진다. 타원은 납작해지는 원이라 긴 축과 짧은 축을 가지는데 이것을 장축과 단축이라고 한다. 케플러는 장축의 절반을 행성과 태양 사이의 거리로 해야한다는 것을 알아차렸다. 이것은 장반경이라고 하고, 행성과 태양 사이의 최대 거리와 최소 거리의 평균과 같다. 

그리고 시간을 지구의 년으로 측정하면 우리는 우주를 이해하는 우리의 능력을 깨어나제 한 방정식을 얻을 수 있다. 지구의 년으로 측정한 행성의 공전주기를 P라고 하고, 행성과 태양 사이의 최대 거리와 최소 거리의 평균을 AU로 측정한 것을  A라고 한다면

P² ∝ a³

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뉴턴은 케플러의 법칙을 더 이상 태양과 행성들에게만 적용되지 않도록 일반화했다. 이것은 우주에 있는 어떤 두 물체 사이에도 적용된다. 두 물체가 서로 끌어당기는 중력은 다음과 같다. 

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뉴턴의 관성 법칙 첫번째-정지 상태에 있는 물체는 외부의 힘이 작용하지 않는 한 그대로 정지해있다. 두번째- 속도가 일정한 물체는 외부의 힘이 작용하지 않는 한 일정한 속도를 유지한다. 일정한 속도란 물체가 특정한 속력으로 특정한 방향으로 움직이며 둘 중 아무것도 변하지 않는다는 것을 의미한다. 바닥에 공을 굴리며 공은 계속 일정한 속도과 일정한 방향으로 움직이지 않고 느려지다가 멈춘다. 이것은 공과 바닥 사이의 마찰력이 외부의 힘으로 작용했기 때문이다. 마찰력은 일상 어디에나 있다.

 외부의 힘이이 작용하지 않는 한 움직이는 물체는 계속 움직인다는 생각은 직관적이지 않다. 마찰력이 우리 주변 어디에나 있기 때문이다. 일상적인 상황에서 마찰력이 없는, 그러니까 힘이 없는 경우를 찾기 힘들다. 피겨 스케이팅 선수는 얼음과 스케이트 사이에 마찰력이 거의 없기 때문에 어렵지 않게 얼음 위에서 오래 미끌어질 수 있다. 마찰력이 전혀 없는 곳에서 물체를 밀면 일정한 속도를 유지한다. 갈릴레오는 이것을 알아차렸다. 우주공간은 마찰력이 사라지는 가장 좋은 장소다. 우주공간에서는 실제로 일정한 속도로 물체를 보내면 계속해서 나아간다. 이것을 멈출 원인이 아무것도 없기 때문이다. 뉴턴은 이 모든 것을 하나의 기본 법칙으로 만들었다. 

 뉴턴 운동의 두번째 법칙은 물체에 힘이 가해지면 어떤 일이 일어나는지 알려주는 것이다. 하나의 물체는 여러 종류의 힘을 받을 수 있다. 하지만 힘의 종류가 어떠하든 일정한 속도에서 벗어나게 하는 것은 모든 힘들의 합니다. 우리는 이 벗어나는 정도를 정량화하기 위해서 ‘가속도’라는 용어를 사용한다. 가속도는 단위 시간 당 속도의 변화다. 그러니까 두번째 법칙은 물체에 미치는 힘과 가독소 사이의 관계다. 물체를 어떤 힘으로 밀면 물체는 가속된다. 물체의 질량이 작다면 가속도는 클 것이고 물체의 질량이 아주 크다면 같은 힘을 가했을 때 가속도는 작을 것이다. 

 뉴턴 운동의 세 번째 법칙은 다음과 같은 문구로 요약할 수 있다. “내가 너를 밀면 너도 나를 민다.” 그러니까 한 물체가 다른 물체를 밀면 다른 물체도 크기가 같고 방향이 반대인 힘으로 그 물체를 민다는 말이다. 손으로 탁자를 누르면 손에도 압력을 느낀다. 탁자가 손을 밀기 때문이다. 모든 힘은 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 쌍으로 가진다.

 당신의 손 위에 놓인 사과를 생각해보자. 이것은 분명히 가만히 놓여 있다. 여기에 작용되는 힘이 있을까? 있다. 지구의 중력이다. 이것은 아래쪽으로 가속되어야 한다.  하지만 분명히 그렇지 않다. 이유는 당신의 손이 위쪽으로 밀고있기 때문이다. 뉴턴의 세 번째 법칙에 따라 그 반작용으로 사과는 당신의 손을 아래쪽으로 밀고 있다. 이것을 사과의 무게라고 한다. 지구가 사과를 아래로 당기는 중력과 당신의 손을 사과를 위로 미는 힘은 서로 상쇄되어 두 힘의 합은 0이 된다. 힘이 0이라는 것은 뉴턴의 두 번째 법칙에 따라 가속도가 0이라는 것을 의미하므로, 처음에 정지해 있던 사과는 아무 데도 가지 않는다.

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第一法則は、惑星は円軌道ではなく楕円軌道を回るということである。では楕円とは何だろうか。数学的に、円は一つの中心を持つが、楕円は二つの中心を持ち、これを焦点という。円ではすべての点が中心から同じ距離にあるのに対し、楕円ではすべての点から二つの焦点までの距離の和が一定である。実は円は、二つの焦点が同じ位置にある楕円の特別な場合である。細長い楕円ほど焦点は離れており、焦点同士が近づくほど楕円は円に近づく。

ギリシャ人は、宇宙が神聖であるならば必ず完全でなければならないと考え、完全さに対する哲学的な意味を持っていた。円は完全な形である。円上のすべての点は中心から同じ距離にあるからだ。神聖な宇宙におけるすべての運動は完全な円であるべきだと彼らは考え、星は円を描いて動くと信じていた。この哲学は何千年も生き続けた。そこにケプラーが現れ、こう言った。「いいえ、皆さん。円ではありません。ティコが残した観測データによって、これらが楕円運動をしていることを示すことができます。」

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彼はさらに、惑星が軌道を回るとき、太陽からの距離によって速度が変わることも発見した。もし軌道が完全な円であれば、どの位置でも速度が変わる理由はない。惑星は一定の速度で動くはずである。しかし楕円ではそうではない。では、どこで最も速くなるのだろうか。おそらく予想できるように、太陽に最も近いときである。ケプラーは、惑星は太陽に近いとき速く、遠いとき遅く動くことを見出した。

これを幾何学的に考えてみよう。ケプラーは言う。「例えば、1か月の間に惑星がどれだけ進むか観測してみよう。」惑星が太陽に近く速く動くとき、広い扇形の領域を掃く。この面積をA1とする。同じ観測を、惑星が太陽から遠い場所でも行う。遠いときはゆっくり動くため、同じ時間でも進む距離は短く、細長い扇形の面積A2を掃く。ケプラーは、1か月の間に掃く面積は距離に関係なく等しいことに気づいた。つまりA1＝A2である。これが第二法則、すなわち「等時間で等面積を掃く」という法則である。

これは角運動量保存則から導かれる基本的な結果でもある。この言葉を知らなくても直感的に理解できる。フィギュアスケート選手はこれを利用する。腕を広げて回転を始め、次に腕を体に引き寄せると回転が速くなる。これは回転軸からの距離が小さくなるためである。楕円軌道でも同様に、太陽に近づくと距離が小さくなり速度が速くなる。これが角運動量保存である。ケプラーはこの用語は使わなかったが、その現象を発見していた。

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ケプラーは距離を地球と太陽の間の距離を基準に測定した。これを天文単位（Astronomical Unit, AU）という。惑星と太陽の距離は時間によって変化する。楕円は長軸と短軸を持ち、長軸の半分を半長軸という。これは最大距離と最小距離の平均に等しい。

そして時間を地球年で測ると、宇宙理解を大きく前進させる式が得られる。公転周期をP、平均距離をa（AU）とすると、

P² ∝ a³

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ニュートンはケプラーの法則を一般化し、太陽と惑星だけでなく、宇宙に存在するあらゆる二つの物体に適用できるようにした。二つの物体の間に働く重力は次のように表される。

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ニュートンの第一法則：静止している物体は外力が加わらない限り静止し続ける。

第二法則：一定の速度で動く物体は外力が加わらない限りその速度を保つ。

一定の速度とは、速さも方向も変わらない状態を意味する。しかし現実ではボールは転がしてもやがて止まる。これは摩擦という外力が働くためである。摩擦は日常のあらゆる場所に存在する。

外力がなければ物体は動き続けるという考えは直感的ではない。だが宇宙空間では摩擦がほぼないため、一度動かした物体はそのまま進み続ける。ガリレオはこれに気づき、ニュートンはそれを法則としてまとめた。

第二法則は、力と加速度の関係を示す。加速度とは単位時間あたりの速度の変化である。物体に力を加えると加速し、質量が小さいほど加速度は大きく、大きいほど小さくなる。

第三法則は「作用・反作用の法則」である。ある物体が他の物体を押すと、同じ大きさで逆向きの力が返ってくる。

例えば手の上にあるリンゴを考える。リンゴには地球の重力が下向きに働くが、手が上向きに押し返しているため静止している。この二つの力がつり合い、合力は0となる。したがって加速度も0となり、リンゴはその場にとどまる。